高等數(shù)學(xué)

本書基于重慶工商職業(yè)學(xué)院“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)改革的成果，以李先明教授主編的《微積分基礎(chǔ)》和劉彥輝副教授主編的《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》為基礎(chǔ)編寫，內(nèi)容主要以一元函數(shù)微積分為基礎(chǔ)，為學(xué)生的文化傳承和后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

充分運用現(xiàn)代教育思想（形象思維、微元法思想、符號使用技巧等），重點突出知識的應(yīng)用，引入數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，為工程類與經(jīng)濟類的學(xué)生搭建學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的公共平臺，成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具、構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識體系的良師益友。

該書結(jié)合內(nèi)容的展示，提供多角度觀察事物的方法，使讀者從不同方向、不同層面、不同角度認識數(shù)學(xué)，觀察事物，掌握數(shù)學(xué)原理、方法、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的例證（原型）。

本書是在重慶工商職業(yè)學(xué)院大力發(fā)展“互聯(lián)網(wǎng)+”教育改革的背景下編寫而成的。2015年底，習(xí)近平總書記在貴州考察時提出了“供給側(cè)結(jié)構(gòu)改革”這一理念后，“供給側(cè)改革”成為全國各行各業(yè)的熱點和工作方向，教育行業(yè)也不例外。2016年民進中央提交了一份《關(guān)于深化教育供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的提案》。隨后，新華社、人民網(wǎng)等主流媒體都刊發(fā)了關(guān)于教育供給側(cè)改革的專題文章。這些聲音反映出了當前高等教育面臨的主要問題是“學(xué)生和企業(yè)想要的教育我們沒有，我們提供的教育他們覺得太單一。教育產(chǎn)品的提供與需求脫節(jié)。”

同樣地，在高職的數(shù)學(xué)課程中也存在著類似的問題。高等數(shù)學(xué)在高職的大多數(shù)專業(yè)中，既是一門重要的文化素質(zhì)通識課，又是一門必不可少的專業(yè)工具課，對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)起著重要的作用。但是，由于近年來高職學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下滑、數(shù)學(xué)課程改革相對滯后，造成了學(xué)生不想學(xué)、專業(yè)責任教師不想開、數(shù)學(xué)教師不愿教的局面。這種局面與十八大以后國家對教育改革“公平、效率”的要求嚴重背離。從供需矛盾來分析的話，主要原因有以下兩個方面：

（1）需求側(cè)（學(xué)情）。一方面，隨著數(shù)學(xué)和相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各行各業(yè)中扮演著更加重要的角色，學(xué)生和專業(yè)責任教師也希望能夠用相對容易的方法掌握盡可能多的數(shù)學(xué)知識。同時，隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”浪潮的到來，學(xué)生對課程的內(nèi)容和形式提出了更高的要求。

但是另一方面，當前的高職學(xué)生由于錄取分數(shù)的降低，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對以前更為薄弱，學(xué)生對數(shù)學(xué)普遍有畏難情緒，不愿意學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)。專業(yè)責任教師和學(xué)校管理部門，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也大多不愿開設(shè)數(shù)學(xué)課程，所以數(shù)學(xué)課程的學(xué)時被一減再減。

（2）供給側(cè)（教情）。從教學(xué)目標上看，數(shù)學(xué)的培養(yǎng)目標與培養(yǎng)應(yīng)用型人才還有差距，還普遍存在著重理論輕應(yīng)用的現(xiàn)象；從教學(xué)內(nèi)容上來看，數(shù)學(xué)課程還是主要以學(xué)科知識完整為主，沒有充分體現(xiàn)“必須、夠用、適度”的原則；從教學(xué)方法上看，老師大多畢業(yè)于數(shù)學(xué)專業(yè)，應(yīng)用性視角不足，多以講授證明和運算為主；從教學(xué)模式上看，主要采用自然班大班教學(xué)，與學(xué)生交流不足，難以做到“因材施教”；從評價方式上看，還是采用了一考定成績的紙質(zhì)考試，形式單一，難以調(diào)動學(xué)生的積極性。

總體來說，高職數(shù)學(xué)課程面臨著三大主要問題：提高教學(xué)質(zhì)量、給學(xué)生更豐富的選擇和學(xué)生實際獲得知識能力的提高。因此，在當前學(xué)情短時間內(nèi)不可能改善的情況下，如何通過對數(shù)學(xué)課程“供給側(cè)”的改革，讓學(xué)生既具有一定的科學(xué)素養(yǎng)，又具有專業(yè)學(xué)習(xí)必須的應(yīng)用能力，是擺在高職數(shù)學(xué)教育者面前的一個重要課題。

本教材內(nèi)容主要以一元函數(shù)微積分為基礎(chǔ)，為學(xué)生的文化傳承和后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，根據(jù)專業(yè)特色由學(xué)生自選數(shù)學(xué)應(yīng)用能力拓展模塊，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用水平和自學(xué)能力。其中的應(yīng)用拓展模塊，由老師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣制定相關(guān)內(nèi)容，通過學(xué)生小組探索完成。本教材是在重慶工商職業(yè)學(xué)院李先明教授和劉彥輝副教授以往教材的基礎(chǔ)上進行編寫的。劉彥輝副教授負責思想原則確立、內(nèi)容設(shè)計、統(tǒng)稿和定稿工作。參加本書主要編寫工作的有重慶工商職業(yè)學(xué)院的張靜講師、姚素芬講師、趙潤峰講師、時耀敏講師和四川工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院的代雪蓮講師。本書內(nèi)容主要包括函數(shù)的極限、函數(shù)的微分、函數(shù)的積分、常微分方程初步、無窮級數(shù)、線性代數(shù)、概率論、統(tǒng)計初步、MATLAB初步和數(shù)學(xué)實驗。每章后面配有基本練習(xí)題，要求讀者獨立完成，題目答案可通過簡單演算獲得，也可通過數(shù)學(xué)實驗的方法獲得。另外，難度較大的題目已放入數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容之中，習(xí)題難度按大專以上水平設(shè)計。

我們認為，高等職業(yè)教育已進入內(nèi)涵建設(shè)階段，數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革任重道遠，希望憑借此書吸引更多的同仁參與數(shù)學(xué)課程教育研究，推動我國高等職業(yè)教育更快地發(fā)展。

編 者

2017年10月

前言

第1章 無窮的意義——極限與連續(xù) 1
1.1 極限的幾何特征 1
1.2 極限的四則運算 4
1.2.1 四則運算 4
1.2.2 應(yīng)用舉例 4
1.3 極限數(shù)學(xué)計算方法 5
1.3.1 型未定式極限的計算 5
1.3.2 型未定式極限的計算 6
1.3.3 兩個重要極限 6
1.3.4 無窮大量與無窮小量 8
1.4 函數(shù)的連續(xù)性 9
1.5 極限的應(yīng)用 11
習(xí)題1 12
第2章 切線與增量——導(dǎo)數(shù)與微分 15
2.1 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念 17
2.1.1 曲線的切線 17
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 18
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式 19
2.2 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)計算方法 20
2.2.1 四則運算法則 20
2.2.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 21
2.2.3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 22
2.2.4 函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 23
2.3 函數(shù)微分及計算方法 24
2.3.1 微分的概念 24
2.3.2 求函數(shù)的微分 24
2.4 函數(shù)微分的應(yīng)用 25
2.4.1 泰勒公式及近似計算 25
2.4.2 中值定理與洛必達法則 27
2.4.3 初等函數(shù)形態(tài)研究 30
2.4.4 函數(shù)的最大（小）值 33
習(xí)題2 36
第3章 無限求和——函數(shù)的積分 39
3.1 不定積分的概念 39
3.1.1 原函數(shù)與不定積分 39
3.1.2 基本積分公式 41
3.1.3 公式應(yīng)用舉例 42
3.2 不定積分的數(shù)學(xué)計算 42
3.2.1 換元積分法 43
3.2.2 分部積分法 47
3.2.3 綜合舉例 49
3.3 定積分的概念 50
3.3.1 曲邊梯形的面積與定積分 50
3.3.2 微積分基本定理 53
3.3.3 公式應(yīng)用舉例 55
3.4 定積分的數(shù)學(xué)計算 56
3.4.1 換元積分法 56
3.4.2 分部積分法 58
3.4.3 綜合舉例 58
3.5 定積分的應(yīng)用 59
3.5.1 幾何應(yīng)用 59
3.5.2 物理應(yīng)用 66
3.5.3 經(jīng)濟應(yīng)用 67
習(xí)題3 69
第4章 收斂與發(fā)散——無窮級數(shù) 72
4.1 數(shù)項級數(shù) 72
4.1.1 數(shù)項級數(shù)的基本概念 72
4.1.2 求數(shù)項級數(shù)的和 72
4.1.3 數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 73
4.1.4 正項級數(shù)收斂判別法 73
4.1.5 任意項級數(shù) 75
4.2 函數(shù)項級數(shù) 76
4.2.1 基本概念 76
4.2.2 冪級數(shù) 76
4.2.3 泰勒級數(shù) 77
4.2.4 傅立葉級數(shù) 80
4.2.5 傅氏變換與拉氏變換 84
習(xí)題4 86
第5章 種群增長的秘密——微分方程 88
5.1 常微分方程的基本概念 88
5.2 可分離變量的微分方程 89
5.3 一階線性微分方程 90
5.4 二階常系數(shù)線性微分方程 92
5.5 常微分方程應(yīng)用 95
習(xí)題5 97
第6章 N維空間拓展——線性代數(shù) 99
6.1 矩陣的概念 99
6.1.1 矩陣的定義 99
6.1.2 常見的特殊矩陣 99
6.2 矩陣的運算 101
6.2.1 矩陣相等 101
6.2.2 矩陣的線性運算 101
6.2.3 矩陣的乘法 102
6.2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置 104
6.3 矩陣的初等行變換 105
6.3.1 矩陣的初等行變換 105
6.3.2 矩陣的秩及求法 105
6.4 方陣的逆矩陣 107
6.4.1 逆矩陣的定義 107
6.4.2 逆矩陣的初等行變換求法 108
6.5 線性方程組的基本概念 109
6.5.1 基本概念 109
6.5.2 線性方程組解的判定 110
6.6 高斯消元法 113
6.7 線性方程組的綜合應(yīng)用 116
習(xí)題6 119
第7章 探索博弈中的奧秘——概率論 122
7.1 隨機事件 123
7.1.1 隨機事件 123
7.1.2 事件間的關(guān)系與運算 123
7.2 隨機事件的概率 124
7.2.1 隨機事件概率的定義 124
7.2.2 概率的加法公式 125
7.2.3 乘法公式及條件概率 126
7.2.4 全概率與貝葉斯公式 127
7.3 貝努利概型 130
7.3.1 事件的獨立性 130
7.3.2 貝努利概型 131
7.4 離散型隨機變量 131
7.4.1 離散型隨機變量的概率分布與分布
函數(shù) 131
7.4.2 幾種重要的離散型隨機變量 133
7.5 連續(xù)型隨機變量的概率密度 134
7.5.1 連續(xù)型隨機變量的概念與分布函數(shù) 135
7.5.2 幾個常用的連續(xù)型隨機變量的分布 136
7.6 隨機變量的數(shù)學(xué)期望 138
7.6.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 138
7.6.2 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 139
7.6.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及矩 139
7.7 隨機變量的方差 140
7.7.1 方差的概念 140
7.7.2 方差的性質(zhì) 140
7.7.3 常見分布的期望與方差 140
習(xí)題7 141
第8章 數(shù)據(jù)會說話——數(shù)理統(tǒng)計初步 143
8.1 總體、樣本、統(tǒng)計量 143
8.1.1 總體與樣本 143
8.1.2 統(tǒng)計量 143
8.2 期望與方差的點估計 145
8.2.1 矩估計 145
8.2.2 極大似然估計 146
8.3 期望與方差的區(qū)間估計 147
8.4 最小二乘估計 148
8.5 幾種常見的假設(shè)檢驗法則 149
8.5.1 假設(shè)檢驗的幾個步驟 149
8.5.2 U檢驗法 150
8.5.3 T檢驗法 150
8.5.4 檢驗法 152
習(xí)題8 154
第9章 MATLAB簡介 157
9.1 初識MATLAB 157
9.2 MATLAB集成環(huán)境 162
9.2.1 集成環(huán)境 162
9.2.2 主窗口 162
9.2.3 工作空間窗口 163
9.2.4 MATLAB幫助系統(tǒng) 164
9.3 MATLAB基本知識 164
9.3.1 基本運算符及表達式 164
9.3.2 MATLAB變量命名規(guī)則 165
9.3.3 數(shù)值計算結(jié)果的顯示格式 165
9.3.4 MATLAB指令行中的標點符號 166
9.3.5 MATLAB指令窗的常用控制指令 166
9.3.6 數(shù)學(xué)函數(shù) 167
第10章 數(shù)學(xué)實驗 168
實驗一 MATLAB在極限中的應(yīng)用 168
實驗二 MATLAB在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 170
實驗三 MATLAB在積分中的應(yīng)用 173
實驗四 MATLAB在線性代數(shù)中的應(yīng)用 177
一、數(shù)值矩陣的生成 177
二、符號矩陣的生成 178
三、特殊矩陣的生成 178
四、矩陣運算 180
五、矩陣分解 182
六、線性方程組的求解 184
附錄 187
附表1 泊松分布數(shù)值表 187
附表2 標準正態(tài)分布函數(shù)值表 190
附表3 T分布的雙側(cè)臨界值表 191
附表4 T分布的單側(cè)臨界值表 192
附表5 分布表 193
附表6 F分布表 195

1. 人工智能開發(fā)框架應(yīng)用 [主編 王明超 蘆婭云]
2. 民航客艙服務(wù)實用英語教程 [主編 田靜 徐亞玲]
3. 工程數(shù)學(xué) [主編 郭立娟 王海]
4. 電工電子技術(shù)基礎(chǔ) [主編 劉 軍 楊國龍 劉天成]
5. MySQL數(shù)據(jù)庫項目式教程 [陳亞峰]
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19. 高等數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)篇（上冊） [主編 李文婧 胡雷 尹金生]
20. 高等數(shù)學(xué)（下冊） [主編 李愛芹 胡雷 尹金生]
21. 高等數(shù)學(xué)（上冊） [主編 李愛芹 胡雷 尹金生]
22. 人工智能應(yīng)用基礎(chǔ) [主編 楊纓 李佳]
23. 人工智能概論（第二版） [主編　任云暉　丁紅　徐迎春 ]
24. 信息時代美育之道 [主編　劉宏宇　黎婭]
25. 數(shù)字媒體交互設(shè)計項目式教程（微課版） [主編　蘇陸]
26. 高等數(shù)學(xué)（下冊） [秦紅兵]
27. 計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)項目化教程（微課版） [主編 王艷萍 安華萍]
28. Excel在會計工作中的應(yīng)用（第三版） [主 編 趙艷莉 耿聰慧]
29. 應(yīng)用數(shù)學(xué) [主編 劉東海 劉麗瑤]
30. 計算機網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)創(chuàng)新教程（模塊化+課程思政版） [主編 唐繼勇 李旭]