高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）

前 言

人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步與數(shù)學(xué)這門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科的廣泛應(yīng)用是分不開(kāi)的，尤其是現(xiàn)代社會(huì)，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和普及使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)一步拓寬，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，同時(shí)也廣泛深入地滲透到了社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，幾乎無(wú)時(shí)無(wú)處不用到數(shù)學(xué)。

高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的基礎(chǔ)學(xué)科，是工科院校一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課。在現(xiàn)階段大學(xué)的大眾化教育中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，面對(duì)高等數(shù)學(xué)高度抽象和邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，普遍出現(xiàn)了“學(xué)不會(huì)，用不了”的尷尬局面。

本次教材編寫(xiě)修訂針對(duì)大眾化教育階段出現(xiàn)的這種現(xiàn)實(shí)狀況，以教育部非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)新制定的“工科類(lèi)本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”為依據(jù)，結(jié)合當(dāng)下教育部調(diào)整教育機(jī)構(gòu)工作的主要思路，引導(dǎo)部分地方本科高校以社會(huì)需求為導(dǎo)向轉(zhuǎn)型發(fā)展，本著“難度適宜，注重實(shí)用”的原則，確定了高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容框架和深度，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，將數(shù)學(xué)基本知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。“高等數(shù)學(xué)”這門(mén)課程不但為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程提供基礎(chǔ)保障，而且在培養(yǎng)提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、綜合分析能力等方面具有非常重要的作用。

本教材主要特點(diǎn)如下：

（1）充分體現(xiàn)基礎(chǔ)應(yīng)用型本科院校特色，根據(jù)工科各專(zhuān)業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不同需求，本著“輕理論，重應(yīng)用”的原則制定內(nèi)容體系；在內(nèi)容安排上由淺入深，循序漸進(jìn)，與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行了科學(xué)合理的銜接。

（2）采用“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題－討論問(wèn)題－解決問(wèn)題”的科學(xué)思路，引入概念時(shí)注意概念產(chǎn)生的實(shí)際背景，逐步展開(kāi)知識(shí)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生思考問(wèn)題能從實(shí)際出發(fā)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。

（3）例題和習(xí)題的選擇本著學(xué)以致用的原則，難易適度、層次分明，各節(jié)均配有實(shí)際應(yīng)用型習(xí)題，而且每章后配有總復(fù)習(xí)題，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生對(duì)本章知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力。

（4）每章最后選編一位有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家的生平和事跡，讓學(xué)生從中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的基本過(guò)程，特別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)韌不拔追求和維護(hù)真理的科學(xué)精神，體現(xiàn)“榜樣育人”的思想政治教學(xué)原則。

（5）本教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯嚴(yán)密、語(yǔ)言準(zhǔn)確、解析詳細(xì)，內(nèi)容突出理論的應(yīng)用和方法的介紹，弱化抽象理論的解釋?zhuān)�深度和廣度適當(dāng)，貼近教學(xué)實(shí)際，既便于教師教也便于學(xué)生學(xué)。

（6）本教材上冊(cè)包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、常微分方程6章，下冊(cè)包括空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)5章。

（7）附錄Ⅰ匯總常見(jiàn)的三角函數(shù)公式，附錄Ⅱ簡(jiǎn)單介紹二階和三階行列式，附錄Ⅲ列舉幾種常見(jiàn)的曲線，附錄Ⅳ積分表包含各種類(lèi)型的不定積分結(jié)果，附錄Ⅴ為習(xí)題答案與提示，供學(xué)生查閱參考。

本教材的主要編寫(xiě)修訂人員為尹金生、劉吉曉、劉菲菲、李文婧、李?lèi)?ài)芹、陳艷艷、胡雷（按姓氏筆畫(huà)排序），具體分工如下：李文婧負(fù)責(zé)第1章至第4章，劉菲菲負(fù)責(zé)第5章和第6章，李?lèi)?ài)芹負(fù)責(zé)第7章，陳艷艷負(fù)責(zé)第8章至第11章。

全書(shū)由尹金生、劉吉曉、胡雷審稿，由李?lèi)?ài)芹統(tǒng)稿和定稿。在教材編寫(xiě)過(guò)程中，編者參考借鑒了國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)資料，采用黃玉娟和李?lèi)?ài)芹主編版本的體系風(fēng)格，同時(shí)得到諸多同事同行的幫助和指導(dǎo)，尤其是山東交通學(xué)院理學(xué)院各位領(lǐng)導(dǎo)和黃玉娟教授的鼎力支持，在此一并表示感謝。

限于編者水平，書(shū)中不足之處在所難免，懇請(qǐng)讀者批評(píng)指正。

編 者

2022年3月

前言

第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 函數(shù)的概念 1
1.1.2 函數(shù)的幾種特性 6
1.1.3 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 8
1.1.4 初等函數(shù) 12
習(xí)題1.1 12
1.2 數(shù)列的極限 14
1.2.1 極限概念的引例 14
1.2.2 數(shù)列極限的定義 14
1.2.3 收斂數(shù)列的性質(zhì) 17
習(xí)題1.2 19
1.3 函數(shù)的極限 20
1.3.1 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的
極限 20
1.3.2 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的
極限 21
1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 24
習(xí)題1.3 24
1.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大 25
1.4.1 無(wú)窮小 25
1.4.2 無(wú)窮大 27
1.4.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 28
習(xí)題1.4 28
1.5 極限的運(yùn)算法則 29
1.5.1 極限的四則運(yùn)算法則 29
1.5.2 復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則 33
習(xí)題1.5 34
1.6 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 34
1.6.1 夾逼準(zhǔn)則 35
1.6.2 單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則 37
習(xí)題1.6 39
1.7 無(wú)窮小的比較 40
習(xí)題1.7 43
1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 44
1.8.1 函數(shù)的連續(xù)性 44
1.8.2 函數(shù)的間斷點(diǎn) 46
1.8.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 48
1.8.4 初等函數(shù)的連續(xù)性 49
習(xí)題1.8 52
1.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 52
1.9.1 最大值與最小值定理及有
界性定理 53
1.9.2 零點(diǎn)定理與介值定理 54
習(xí)題1.9 55
復(fù)習(xí)題1 56
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—?jiǎng)⒒?58
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 59
2.1 導(dǎo)數(shù) 59
2.1.1 引例 59
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 60
2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 64
2.1.4 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的
關(guān)系 65
習(xí)題2.1 65
2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則 66
2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的
求導(dǎo)法則 66
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 68
2.2.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 69
2.2.4 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 70
習(xí)題2.2 71
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 72
2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念 72
2.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 75
習(xí)題2.3 76
2.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的
函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 76
2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 76
2.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的
導(dǎo)數(shù) 78
習(xí)題2.4 80
2.5 函數(shù)的微分 81
2.5.1 微分的概念 81
2.5.2 微分的幾何意義 83
2.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式
與微分運(yùn)算法則 84
2.5.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 86
習(xí)題2.5 87
復(fù)習(xí)題2 87
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—祖沖之 89
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 91
3.1 微分中值定理 91
3.1.1 羅爾（Rolle）定理 91
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值
定理 92
*3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 94
習(xí)題3.1 95
3.2 洛必達(dá)（L’hospital）法則 95
3.2.1 型未定式 96
3.2.2 型未定式 97
3.2.3 其他類(lèi)型未定式 98
習(xí)題3.2 99
*3.3 泰勒公式 100
3.3.1 泰勒（Taylor）中值定理 101
3.3.2 幾個(gè)重要初等函數(shù)的麥克
勞林公式 102
習(xí)題3.3 105
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值 105
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 105
3.4.2 函數(shù)的極值 109
習(xí)題3.4 112
3.5 函數(shù)的最大值與最小值及其
應(yīng)用 112
習(xí)題3.5 116
3.6 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 函數(shù)
圖形的描繪 116
3.6.1 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 116
3.6.2 函數(shù)圖形的描繪 119
習(xí)題3.6 121
3.7 曲率 122
3.7.1 曲線的曲率 122
3.7.2 曲率圓與曲率半徑 126
習(xí)題3.7 127
復(fù)習(xí)題3 128
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—楊輝 129
第4章 不定積分 131
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 131
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 131
4.1.2 不定積分的幾何意義 134
4.1.3 不定積分的性質(zhì) 134
4.1.4 基本積分公式 135
習(xí)題4.1 137
4.2 換元積分法 138
4.2.1 第一類(lèi)換元積分法 138
4.2.2 第二類(lèi)換元積分法 143
習(xí)題4.2 148
4.3 分部積分法 149
習(xí)題4.3 153
*4.4 有理函數(shù)的積分 153
4.4.1 有理函數(shù)的積分 154
4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分 158
習(xí)題4.4 160
復(fù)習(xí)題4 160
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—蘇步青 162
第5章 定積分及其應(yīng)用 164
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 164
5.1.1 引例 164
5.1.2 定積分的定義 167
5.1.3 定積分的幾何意義 168
5.1.4 定積分的性質(zhì) 169
習(xí)題5.1 171
5.2 微積分基本公式 172
5.2.1 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 173
5.2.2 牛頓－萊布尼茨公式 175
習(xí)題5.2 177
5.3 定積分的換元法和分部積分法 178
5.3.1 定積分的換元法 179
5.3.2 定積分的分部積分法 182
習(xí)題5.3 184
5.4 反常積分 186
5.4.1 無(wú)窮限的反常積分 186
5.4.2 無(wú)界函數(shù)的反常積分 188
*5.4.3 函數(shù) 190
習(xí)題5.4 192
5.5 定積分的元素法及其在幾何學(xué)
上的應(yīng)用 193
5.5.1 定積分的元素法 193
5.5.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用
——平面圖形的面積 194
5.5.3 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用
——體積與弧長(zhǎng) 201
習(xí)題5.5 207
5.6 定積分的元素法在物理學(xué)上的
應(yīng)用 208
5.6.1 變力沿直線所做的功 208
5.6.2 水的側(cè)壓力 210
習(xí)題5.6 211
復(fù)習(xí)題5 212
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介—萊布尼茨 214
第6章 常微分方程 217
6.1 微分方程的基本概念 217
6.1.1 引例 217
6.1.2 微分方程的概念 218
習(xí)題6.1 220
6.2 可分離變量的微分方程 220
6.2.1 可分離變量的微分方程 221
6.2.2 可化為可分離變量微分
方程的微分方程 223
習(xí)題6.2 227
6.3 一階線性微分方程 228
習(xí)題6.3 232
*6.4 可降階的二階微分方程 233
6.4.1 型的微分方程 233
6.4.2 型的微分方程 235
6.4.3 型的微分方程 236
習(xí)題6.4 239
6.5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 239
6.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分
方程解的結(jié)構(gòu) 240
6.5.2 二階常系數(shù)齊次線性微分
方程的解法 241
習(xí)題6.5 245
6.6 二階常系數(shù)非齊次線性微分
方程 245
習(xí)題6.6 253
復(fù)習(xí)題6 253
數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介——華羅庚 254
參考文獻(xiàn) 256
附錄Ⅰ 常見(jiàn)三角函數(shù)公式 258
附錄Ⅱ 二階和三階行列式簡(jiǎn)介 260
附錄Ⅲ 幾種常見(jiàn)曲線 263
附錄Ⅳ 積分表 267
附錄Ⅴ 習(xí)題答案與提示 277

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