高等數(shù)學(xué)（下冊）

人類社會的進(jìn)步與數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科的廣泛應(yīng)用是分不開的，尤其是現(xiàn)代社會，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和普及使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)一步拓寬，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，同時(shí)也廣泛深入地滲透到了社會生活的各個(gè)領(lǐng)域。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，幾乎無時(shí)無處不用到數(shù)學(xué)。

高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的基礎(chǔ)學(xué)科，是工科院校一門非常重要的基礎(chǔ)課。在現(xiàn)階段大學(xué)的大眾化教育中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，面對高等數(shù)學(xué)高度抽象和邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)，普遍出現(xiàn)了“學(xué)不會，用不了”的尷尬局面。

本次教材編寫修訂針對大眾化教育階段出現(xiàn)的這種現(xiàn)實(shí)狀況，以教育部非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)委員會新制定的“工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”為依據(jù)，結(jié)合當(dāng)下教育部調(diào)整教育機(jī)構(gòu)工作的主要思路，引導(dǎo)部分地方本科高校以社會需求為導(dǎo)向轉(zhuǎn)型發(fā)展，本著“難度適宜，注重實(shí)用”的原則，確定了高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容框架和深度，以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，將數(shù)學(xué)基本知識和實(shí)際應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來。“高等數(shù)學(xué)”這門課程不但為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程提供基礎(chǔ)保障，而且在培養(yǎng)提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、綜合分析能力等方面具有非常重要的作用。

本教材主要特點(diǎn)如下：

（1）充分體現(xiàn)基礎(chǔ)應(yīng)用型本科院校特色，根據(jù)工科各專業(yè)對數(shù)學(xué)知識的不同需求，本著“輕理論，重應(yīng)用”的原則制定內(nèi)容體系；在內(nèi)容安排上由淺入深，循序漸進(jìn)，與中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系進(jìn)行了科學(xué)合理的銜接。

（2）采用“發(fā)現(xiàn)問題－討論問題－解決問題”的科學(xué)思路，引入概念時(shí)注意概念產(chǎn)生的實(shí)際背景，逐步展開知識點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生思考問題能從實(shí)際出發(fā)，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決問題的意識和能力。

（3）例題和習(xí)題的選擇本著學(xué)以致用的原則，難易適度、層次分明，各節(jié)均配有實(shí)際應(yīng)用型習(xí)題，而且每章后配有總復(fù)習(xí)題，強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生對本章知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用能力。

（4）每章最后選編一位有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家的生平和事跡，讓學(xué)生從中認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)展的基本過程，特別是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)韌不拔追求和維護(hù)真理的科學(xué)精神，體現(xiàn)“榜樣育人”的思想政治教學(xué)原則。

（5）本教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯嚴(yán)密、語言準(zhǔn)確、解析詳細(xì)，內(nèi)容突出理論的應(yīng)用和方法的介紹，弱化抽象理論的解釋，深度和廣度適當(dāng)，貼近教學(xué)實(shí)際，既便于教師教也便于學(xué)生學(xué)。

（6）本教材上冊包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、常微分方程6章，下冊包括空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數(shù)5章。

（7）附錄Ⅰ匯總常見的三角函數(shù)公式，附錄Ⅱ簡單介紹二階和三階行列式，附錄Ⅲ列舉幾種常見的曲線，附錄Ⅳ積分表包含各種類型的不定積分結(jié)果，附錄Ⅴ為習(xí)題答案與提示，供學(xué)生查閱參考。

本教材的主要編寫修訂人員為尹金生、劉吉曉、劉菲菲、李文婧、李愛芹、陳艷艷、胡雷（按姓氏筆畫排序），具體分工如下：李文婧負(fù)責(zé)第1章至第4章，劉菲菲負(fù)責(zé)第5章和第6章，李愛芹負(fù)責(zé)第7章，陳艷艷負(fù)責(zé)第8章至第11章。

全書由尹金生、劉吉曉、胡雷審稿，由李愛芹統(tǒng)稿和定稿。在教材編寫過程中，編者參考借鑒了國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)資料，采用黃玉娟和李愛芹主編版本的體系風(fēng)格，同時(shí)得到諸多同事同行的幫助和指導(dǎo)，尤其是山東交通學(xué)院理學(xué)院各位領(lǐng)導(dǎo)和黃玉娟教授的鼎力支持，在此一并表示感謝。

限于編者水平，書中不足之處在所難免，懇請讀者批評指正。

編 者

2022年3月

前言
第7章 空間解析幾何與向量代數(shù) 1
7.1 向量及其線性運(yùn)算 1
7.1.1 向量的概念 1
7.1.2 向量的線性運(yùn)算 2
7.1.3 空間直角坐標(biāo)系 4
7.1.4 向量的坐標(biāo)表示 5
7.1.5 利用坐標(biāo)做向量的線性運(yùn)算 6
7.1.6 向量的模與方向余弦 7
7.1.7 向量在軸上的投影 9
習(xí)題7.1 10
7.2 數(shù)量積與向量積 11
7.2.1 兩向量的數(shù)量積 11
7.2.2 兩向量的向量積 13
習(xí)題7.2 16
7.3 曲面及其方程 16
7.3.1 曲面方程的概念 16
7.3.2 旋轉(zhuǎn)曲面 18
7.3.3 柱面 20
7.3.4 二次曲面 21
習(xí)題7.3 23
7.4 空間曲線及其方程 23
7.4.1 空間曲線的一般方程 23
7.4.2 空間曲線的參數(shù)方程 25
7.4.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 26
習(xí)題7.4 28
7.5 平面及其方程 29
7.5.1 平面的點(diǎn)法式方程 29
7.5.2 平面的一般方程 30
7.5.3 兩平面的夾角 31
習(xí)題7.5 34
7.6 空間直線及其方程 34
7.6.1 空間直線的一般方程 34
7.6.2 平面束 35
7.6.3 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 36
7.6.4 兩直線的夾角 38
7.6.5 直線與平面的夾角 39
習(xí)題7.6 40
復(fù)習(xí)題7 41
數(shù)學(xué)家簡介—笛卡爾 41
第8章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 43
8.1 多元函數(shù)的基本概念 43
8.1.1 平面點(diǎn)集 43
8.1.2 多元函數(shù)的概念 45
8.1.3 多元函數(shù)的極限 46
8.1.4 多元函數(shù)的連續(xù)性 48
習(xí)題8.1 49
8.2 偏導(dǎo)數(shù) 50
8.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 50
8.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 53
習(xí)題8.2 54
8.3 全微分 55
8.3.1 全微分的定義 55
*8.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 57
習(xí)題8.3 58
8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 58
8.4.1 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 58
8.4.2 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 59
8.4.3 復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)也有多元函數(shù)的情形 60
8.4.4 全微分形式不變性 62
習(xí)題8.4 63
8.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 64
習(xí)題8.5 68
8.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 69
8.6.1 空間曲線的切線與法平面 69
8.6.2 曲面的切平面與法線 72
習(xí)題8.6 74
8.7 方向?qū)��?shù)與梯度 75
8.7.1 方向?qū)��?shù) 75
8.7.2 梯度 78
習(xí)題8.7 80
8.8 多元函數(shù)的極值及其求法 81
8.8.1 多元函數(shù)的極值 81
8.8.2 多元函數(shù)的最大值與最小值 83
8.8.3 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 85
習(xí)題8.8 88
復(fù)習(xí)題8 88
數(shù)學(xué)家簡介—陳省身 90
第9章 重積分 92
9.1 二重積分 92
9.1.1 引例 92
9.1.2 二重積分的概念 94
9.1.3 二重積分的性質(zhì) 96
習(xí)題9.1 98
9.2 二重積分的計(jì)算 99
9.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 99
9.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 106
習(xí)題9.2 111
9.3 三重積分 112
9.3.1 引例—求空間物體的質(zhì)量 112
9.3.2 三重積分的概念 112
9.3.3 三重積分的計(jì)算 113
習(xí)題9.3 121
9.4 重積分的應(yīng)用 121
9.4.1 求立體的體積 122
9.4.2 求曲面的面積 123
9.4.3 求物體的質(zhì)量 125
9.4.4 求質(zhì)心 125
9.4.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 127
習(xí)題9.4 128
復(fù)習(xí)題9 129
數(shù)學(xué)家簡介—牛頓 130
第10章 曲線積分與曲面積分 132
10.1 對弧長的曲線積分 132
10.1.1 引例——金屬曲線的質(zhì)量問題 132
10.1.2 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 133
10.1.3 對弧長的曲線積分的計(jì)算 134
習(xí)題10.1 137
10.2 對坐標(biāo)的曲線積分 137
10.2.1 引例——變力沿曲線所做的功 137
10.2.2 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 138
10.2.3 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 140
習(xí)題10.2 143
10.3 格林公式及其應(yīng)用 143
10.3.1 格林公式 143
10.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件 147
習(xí)題10.3 151
10.4 對面積的曲面積分 152
10.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 152
10.4.2 對面積的曲面積分的計(jì)算 153
習(xí)題10.4 155
10.5 對坐標(biāo)的曲面積分 155
10.5.1 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 155
10.5.2 對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 158
習(xí)題10.5 160
10.6 高斯公式與斯托克斯公式 161
10.6.1 高斯公式 161
10.6.2 斯托克斯公式 163
習(xí)題10.6 164
復(fù)習(xí)題10 165
數(shù)學(xué)家簡介—高斯 167
第11章 無窮級數(shù) 169
11.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 169
11.1.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 169
11.1.2 收斂級數(shù)的性質(zhì) 171
習(xí)題11.1 174
11.2 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 174
11.2.1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件 175
11.2.2 比較審斂法 175
11.2.3 比值審斂法 178
習(xí)題11.2 180
11.3 交錯(cuò)級數(shù)和任意項(xiàng)級數(shù) 181
11.3.1 交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法 181
11.3.2 任意項(xiàng)級數(shù)與絕對收斂、條件收斂 183
習(xí)題11.3 185
11.4 冪級數(shù) 186
11.4.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 186
11.4.2 冪級數(shù)及其收斂域 186
11.4.3 冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì) 190
習(xí)題11.4 193
11.5 函數(shù)展開成冪級數(shù) 193
11.5.1 泰勒級數(shù) 193
11.5.2 直接展開與間接展開 195
習(xí)題11.5 198
11.6 傅里葉級數(shù) 199
11.6.1 三角函數(shù)系與三角級數(shù) 199
11.6.2 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 200
11.6.3 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 203
11.6.4 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 204
習(xí)題11.6 206
復(fù)習(xí)題11 206
數(shù)學(xué)家簡介—丘成桐 208
參考文獻(xiàn) 210
附錄 習(xí)題和復(fù)習(xí)題參考答案 212

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