復(fù)變函數(shù)與積分變換

本書依據(jù)普通本科教育“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，精選教材內(nèi)容。

本書從實(shí)際應(yīng)用和后續(xù)專業(yè)課的需要出發(fā)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念與工程實(shí)際結(jié)合的特點(diǎn)，課程內(nèi)容按照由淺入深，由具體到抽象，由特殊到一般的原則組織。

本書每章都有學(xué)習(xí)目標(biāo)、小結(jié)、復(fù)習(xí)題、自測(cè)題等，便于學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，鞏固所學(xué)知識(shí)。

我國(guó)高等教育正在快速發(fā)展，教材建設(shè)也要與之適應(yīng)，特別是教育部關(guān)于“高等教育面向21世紀(jì)內(nèi)容與課程改革”計(jì)劃的實(shí)施，對(duì)教材建設(shè)提出了新的要求。本書的編寫目的就是為了適應(yīng)高等教育的快速發(fā)展，滿足教學(xué)改革和課程建設(shè)的需求，體現(xiàn)高等工科教育的特點(diǎn)。

本書依據(jù)普通本科教育“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，精心選擇了教材的內(nèi)容，結(jié)合從實(shí)際應(yīng)用和學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的需要出發(fā)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念與工程實(shí)際結(jié)合的特點(diǎn)，課程內(nèi)容按照由淺入深，由具體到抽象，由特殊到一般的原則來(lái)組織，每章都有學(xué)習(xí)目標(biāo)、小結(jié)、習(xí)題、自測(cè)題等，便于學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，鞏固所學(xué)知識(shí)。

全書內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)、初等解析函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的積分，復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和羅倫級(jí)數(shù)，留數(shù)與留數(shù)定理，傅立葉變換和拉普拉斯變換等。書后附有傅立葉變換表與拉普拉斯變換表，以及習(xí)題、自測(cè)題參考答案或提示。

本書既可作為理工科大學(xué)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的教材，也可供工程技術(shù)人員參考使用。

本書由翟秀娜擔(dān)任主編并統(tǒng)稿，張翠蓮擔(dān)任副主編。各章編寫分工如下：復(fù)變函數(shù)由翟秀娜編寫，積分變換及書后附錄由張翠蓮編寫。何春江、王曉威、鄧?guó)P茹、張文治、張欽禮、牛莉、曾大有等同志參加了本書編寫的討論及校對(duì)工作。

在本書的編寫過(guò)程中，編者參考了很多相關(guān)的書籍和資料，采用了一些相關(guān)內(nèi)容，汲取了很多同仁的寶貴經(jīng)驗(yàn)，在此謹(jǐn)表謝意。

由于時(shí)間的倉(cāng)促及作者水平所限，書中錯(cuò)誤和不足之處在所難免，懇請(qǐng)廣大讀者批評(píng)指正，我們將不勝感激。

編 者

2015年12月

第1篇 復(fù)變函數(shù)
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 1
1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的概念 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的表示 2
1.1.3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 5
1.1.4 復(fù)數(shù)的乘方與方根 6
1.2 平面點(diǎn)集與區(qū)域 8
1.2.1 復(fù)平面上的點(diǎn)集與區(qū)域 8
1.2.2 單連通域與多（復(fù)）連通域 10
1.3 復(fù)變函數(shù) 11
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念 11
1.3.2 映射的概念 12
1.3.3 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 13
1.4 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 14
1.4.1 復(fù)變函數(shù)的極限 14
1.4.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù) 15
本章小結(jié) 16
習(xí)題一 17
自測(cè)題一 18
第2章 解析函數(shù) 20
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 20
2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 20
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 20
2.1.2 復(fù)變函數(shù)的微分 23
2.2 解析函數(shù) 24
2.2.1 解析函數(shù)的概念及其運(yùn)算 24
2.2.2 柯西—黎曼條件 25
2.2.3 函數(shù)解析的充要條件 26
2.3 調(diào)和函數(shù) 28
2.3.1 調(diào)和函數(shù) 28
2.3.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 28
2.4 初等函數(shù)及其解析性 30
2.4.1 指數(shù)函數(shù) 30
2.4.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 31
2.4.3 冪函數(shù) 32
2.4.4 三角函數(shù) 33
2.4.5 反三角函數(shù) 35
*2.4.6 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 35
本章小結(jié) 36
習(xí)題二 38
自測(cè)題二 39
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分 40
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 40
3.1 復(fù)變函數(shù)的積分 40
3.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念 40
3.1.2 積分的存在性及其計(jì)算方法 41
3.1.3 積分的性質(zhì) 43
3.2 積分基本定理 45
3.2.1 柯西—古薩（Cauchy-Goursat）基本定理 45
3.2.2 原函數(shù)與不定積分 45
3.2.3 基本定理的推廣—復(fù)合閉路定理 47
3.3 柯西積分公式 48
3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 50
本章小結(jié) 51
習(xí)題三 52
自測(cè)題三 53
第4章 級(jí)數(shù) 55
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 55
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 55
4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 55
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 56
4.1.3 復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 56
4.2 冪級(jí)數(shù) 57
4.2.1 冪級(jí)數(shù)的概念 57
4.2.2 收斂圓與收斂半徑 57
4.2.3 冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)的性質(zhì) 59
4.3 泰勒級(jí)數(shù) 59
4.3.1 解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 59
4.3.2 初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 60
4.4 羅倫級(jí)數(shù) 61
4.5 孤立奇點(diǎn) 64
4.5.1 孤立奇點(diǎn)的概念及其分類 64
4.5.2 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 66
本章小結(jié) 67
習(xí)題四 68
自測(cè)題四 68
第5章 留數(shù) 70
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 70
5.1 留數(shù)的概念及基本定理 70
5.1.1 留數(shù)的概念 70
5.1.2 留數(shù)定理 71
*5.1.3 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 75
5.2 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用 76
本章小結(jié) 78
習(xí)題五 79
自測(cè)題五 79
第2篇 積分變換
第6章 傅立葉變換 81
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 81
6.1 傅立葉積分 82
6.1.1 主值意義下的廣義積分 82
6.1.2 傅氏積分存在定理 83
6.2 傅立葉變換 84
6.2.1 傅立葉變換的概念 84
6.2.2 傅氏變換的物理意義—頻譜 87
6.3 δ函數(shù)及其傅立葉變換 89
6.3.1 函數(shù)的定義 90
6.3.2 函數(shù)的性質(zhì) 92
6.3.3 函數(shù)的傅立葉變換 93
6.3.4 一些常見(jiàn)函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對(duì) 94
6.4 傅立葉變換的性質(zhì) 96
6.4.1 線性性質(zhì) 96
6.4.2 對(duì)稱性質(zhì) 97
6.4.3 相似性質(zhì) 98
6.4.4 平移性質(zhì) 98
6.4.5 微分性質(zhì) 102
6.4.6 積分性質(zhì) 103
6.4.7 傅氏變換的卷積與卷積定理 103
本章小結(jié) 105
習(xí)題六 107
自測(cè)題六 109
第7章 拉普拉斯變換 110
本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 110
7.1 拉普拉斯變換 110
7.1.1 拉普拉斯變換的概念 110
7.1.2 拉普拉斯變換存在定理 111
7.1.3 一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換 111
7.1.4 拉普拉斯變換的下限問(wèn)題 113
7.1.5 周期函數(shù)的拉普拉斯變換 114
7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 115
7.2.1 線性性質(zhì) 115
7.2.2 相似性質(zhì) 116
7.2.3 平移性質(zhì) 117
7.2.4 微分性質(zhì) 120
7.2.5 積分性質(zhì) 121
7.2.6 拉氏變換的卷積與卷積定理 123
7.3 拉普拉斯逆變換 124
7.3.1 利用拉普拉斯變換表和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換 125
7.3.2 利用留數(shù)定理求拉氏逆變換 127
7.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 128
7.4.1 常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法 128
7.4.2 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 130
本章小結(jié) 132
習(xí)題七 133
自測(cè)題七 137
附錄1 習(xí)題與自測(cè)題參考答案或提示 139
附錄2 變換簡(jiǎn)表 150
參考文獻(xiàn) 160

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4. 高等教育多維評(píng)價(jià)體系構(gòu)建與高質(zhì)量發(fā)展研究 [張妍 著]
5. 系統(tǒng)規(guī)劃與管理師章節(jié)習(xí)題與考點(diǎn)特訓(xùn)（第二版） [主編 薛大龍]
6. 計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)實(shí)踐指導(dǎo)（openEuler版） [主編 秦光 曾陳萍 岳付強(qiáng)]
7. 信息系統(tǒng)管理工程師真題及模考卷精析（適用機(jī)考） [主 編 薛大龍 程 剛 上官緒]
8. 航海類院校體育教育教學(xué)研究 [張利超 李寧 著]
9. 新時(shí)代背景下我國(guó)職業(yè)教育產(chǎn)教融合長(zhǎng)效機(jī)制建設(shè)研究 [王玉賢 著]
10. 電路分析 [主編 李飛 毛先柏]
11. 信息系統(tǒng)管理工程師（適用第2版大綱）一站通關(guān) [指尖瘋　編著]
12. 傳統(tǒng)山水畫論解讀與實(shí)踐 [陳鈉 著]
13. 網(wǎng)絡(luò)工程師備考一本通（適配第6版考綱） [夏杰 編著]
14. 陳孝云的職教理想與情懷 [祝吉太 江傳瑞 張義廷 著]
15. 地方本科院校電子信息學(xué)科課程思政案例集 [王甫]
16. Excel數(shù)據(jù)處理與分析（第二版） [主編 張志明 鄒 蕾]
17. 網(wǎng)絡(luò)工程師5天修煉（適配第6版考綱） [主編　朱小平 施游]
18. 倉(cāng)儲(chǔ)管理實(shí)務(wù)（第二版） [周寧武 編著]
19. 基于AE與C#的地理信息系統(tǒng)二次開(kāi)發(fā) [李小根 賈艷昌 喬翠平 姜彤 ]
20. 2023年長(zhǎng)沙市文化和旅游業(yè)發(fā)展報(bào)告 [主編 陳莉]
21. 舞臺(tái)化妝造型設(shè)計(jì) [主編 劉思彤 張 濤 張憶雨]
22. 產(chǎn)教融合視角高校體育專業(yè)實(shí)踐教學(xué)體系構(gòu)建研究 [楊柳青 葉華兵 著]
23. 知識(shí)圖譜及應(yīng)用案例 [張善文 黃文準(zhǔn) 于長(zhǎng)青 陳明淑]
24. Python程序設(shè)計(jì)案例教程（微課版） [主編　石利平　田輝平　余以勝]
25. 皓月繁星：青少年兒童心理成長(zhǎng)手冊(cè) [主　編　林贊歌 副主編　杜志南]
26. 材料力學(xué) [章寶華 趙新勝 徐斌]
27. 系統(tǒng)集成項(xiàng)目管理工程師考試32小時(shí)通關(guān)（第3版） [主編　薛大龍 副主編　上官緒陽(yáng)]
28. 軟考論文高分特訓(xùn)與范文10篇——系統(tǒng)分析師（第二版） [薛大龍 鄒月平 施游]
29. 黃河海勃灣水利樞紐防凌安全運(yùn)行 [王戰(zhàn)領(lǐng) 王叢發(fā) 范瑜彬 著]
30. 大學(xué)生心理健康教育 [方雄 著]