線性代數(shù)

前 言

“線性代數(shù)”是高等院校理、工、經(jīng)、管、農(nóng)、醫(yī)類各專業(yè)的基礎(chǔ)課程，也是工程應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，主要研究線性方程組及線性空間等相關(guān)理論，同時(shí)對(duì)能夠進(jìn)行線性運(yùn)算的量及其相互之間的聯(lián)系與規(guī)律進(jìn)行描述。隨著計(jì)算技術(shù)的大力發(fā)展，線性代數(shù)在信息、機(jī)械、控制、土木、化工、經(jīng)濟(jì)等行業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣，許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值算法得到定量解決，并利用程序進(jìn)行計(jì)算，其中很多內(nèi)容都牽涉到矩陣的相關(guān)理論，可以說線性代數(shù)是從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)等相關(guān)工作人員必備的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，代數(shù)就是在所考慮的對(duì)象之間規(guī)定一些運(yùn)算后得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。線性代數(shù)涉及的運(yùn)算主要是稱為加法和數(shù)乘的線性運(yùn)算，這些線性運(yùn)算須滿足一定的性質(zhì)進(jìn)而構(gòu)成線性空間。現(xiàn)實(shí)中大量出現(xiàn)的非線性問題常常需要轉(zhuǎn)換成線性問題進(jìn)行處理，如在一定條件下，曲線可用直線近似，曲面可用平面近似，函數(shù)增量可用函數(shù)的微分近似，所以說線性代數(shù)是研究線性科學(xué)中的“線性問題”。線性問題的討論往往涉及矩陣和向量，它們是重要的代數(shù)工具。在一定的意義上，它們以及其上的一些運(yùn)算本身就構(gòu)成線性空間，因此線性代數(shù)的研究對(duì)象與高等代數(shù)、近世代數(shù)的研究對(duì)象略有不同，它主要研究線性空間及其上的線性變換。

線性代數(shù)的內(nèi)容較抽象，概念和定理較多，前后聯(lián)系緊密、環(huán)環(huán)相扣、相互滲透，但它作為一種數(shù)學(xué)建模方法，是工程技術(shù)人員和科研工作者必須掌握的。尤其在優(yōu)化問題討論、算法分析與設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形圖像處理、數(shù)字信號(hào)處理等實(shí)際應(yīng)用中更加突出，使得高等院校各專業(yè)都對(duì)線性代數(shù)的內(nèi)容從深度和廣度上提出了更高的要求。通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步培養(yǎng)抽象思維能力和邏輯推理能力，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究提供必要的理論知識(shí)、解題方法和技巧，夯實(shí)理論基礎(chǔ)。本書編寫內(nèi)容突出基本概念、基本理論和基本方法，并且各章例題利用Maple進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，符合國(guó)家對(duì)線性代數(shù)課程改革的要求和基礎(chǔ)課程“金課行動(dòng)”的改革要求，適度增加課程高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度。

全書共分6章：行列式、矩陣、向量與線性方程組、相似矩陣、二次型、線性空間與線性變換，以矩陣為工具闡述線性代數(shù)的基本概念、基本理論和方法，使內(nèi)容聯(lián)系緊密，具有較強(qiáng)的邏輯性。由于線性代數(shù)概念多、結(jié)論多、內(nèi)容較抽象，本書盡量從簡(jiǎn)單實(shí)例入手，力求通俗易懂、由淺入深，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容提供較多的典型例題，以幫助學(xué)生更好地理解、掌握和運(yùn)用線性代數(shù)的知識(shí)。每章都有精選習(xí)題，有些選自歷年研究生入學(xué)考試線性代數(shù)題目，書后配有習(xí)題答案。

在本書編寫過程中，編者向校內(nèi)外同行廣泛征求了意見，感謝同行提出的寶貴意見。

由于編者水平有限，書中疏漏之處在所難免，懇請(qǐng)專家和讀者批評(píng)指正。

編 者

2021年4月于西安

前言

第1章 行列式 1
1.1 行列式的定義 1
1.1.1 二階和三階行列式 1
1.1.2 排列 4
1.1.3 n階行列式的定義 5
習(xí)題1.1 7
1.2 行列式的基本性質(zhì) 8
習(xí)題1.2 15
1.3 行列式的計(jì)算 16
1.3.1 余子式與代數(shù)余子式 16
1.3.2 行列式按行（列）展開定理 16
習(xí)題1.3 21
1.4 Cramer法則 23
習(xí)題1.4 28
第2章 矩陣 29
2.1 矩陣的定義與基本運(yùn)算 29
2.1.1 矩陣的定義 29
2.1.2 幾種特殊矩陣 30
2.1.3 矩陣的加法與減法 31
2.1.4 數(shù)乘矩陣 31
2.1.5 矩陣的乘法 33
2.1.6 方陣的冪 35
2.1.7 矩陣的轉(zhuǎn)置 36
習(xí)題2.1 37
2.2 可逆矩陣 38
2.2.1 可逆矩陣的概念 38
2.2.2 逆矩陣的計(jì)算 39
2.2.3 可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 42
習(xí)題2.2 45
2.3 分塊矩陣 46
習(xí)題2.3 49
2.4 矩陣的初等變換 50
2.4.1 矩陣的初等變換 50
2.4.2 初等矩陣 51
習(xí)題2.4 58
2.5 矩陣的秩 59
2.5.1 矩陣的秩的定義 60
2.5.2 矩陣的秩的計(jì)算 62
習(xí)題2.5 66
第3章 向量與線性方程組 68
3.1 線性方程組解的判定 68
3.1.1 非齊次線性方程組解的判定 68
3.1.2 齊次線性方程組解的判定 71
習(xí)題3.1 73
3.2 向量組的線性相關(guān)性 74
3.2.1 向量及其線性運(yùn)算 74
3.2.2 線性組合與線性表示 76
3.2.3 線性相關(guān)性與線性無關(guān)性 78
習(xí)題3.2 82
3.3 向量組的秩 83
3.3.1 極大線性無關(guān)組 83
3.3.2 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系 85
習(xí)題3.3 87
3.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 88
3.4.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 88
3.4.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 92
習(xí)題3.4 96
3.5 向量空間 97
習(xí)題3.5 98
第4章 相似矩陣 99
4.1 向量的內(nèi)積與正交向量組 99
4.1.1 向量的內(nèi)積 99
4.1.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基與Schmidt正交化 100
4.1.3 正交矩陣 102
習(xí)題4.1 104
4.2 方陣的特征值與特征向量 105
4.2.1 特征值與特征向量的定義 105
4.2.2 特征值與特征向量的求法 105
4.2.3 特征值與特征向量的性質(zhì) 109
習(xí)題4.2 111
4.3 矩陣的相似與對(duì)角化 112
4.3.1 相似矩陣 112
4.3.2 矩陣可對(duì)角化條件 113
習(xí)題4.3 118
4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 119
4.4.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 119
4.4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣相似對(duì)角化 120
習(xí)題4.4 124
第5章 二次型 125
5.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 125
5.1.1 二次型及其矩陣表示 125
5.1.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 126
5.1.3 化二次型為規(guī)范形 132
習(xí)題5.1 135
5.2 正定二次型與正定矩陣 136
5.2.1 基本概念 136
5.2.2 正定二次型的判定 137
習(xí)題5.2 140
第6章 線性空間與線性變換 142
6.1 線性空間及其性質(zhì) 142
6.1.1 線性空間的定義 142
6.1.2 線性空間的性質(zhì) 144
習(xí)題6.1 144
6.2 線性空間的基與坐標(biāo) 145
6.2.1 基與坐標(biāo)的定義 145
6.2.2 基變換與坐標(biāo)變換 146
習(xí)題6.2 151
6.3 線性變換及其運(yùn)算 152
6.3.1 線性變換的定義 152
6.3.2 線性變換的運(yùn)算 154
6.3.3 線性變換的矩陣 156
習(xí)題6.3 161
習(xí)題參考答案 162
參考文獻(xiàn) 177
附錄 Maple簡(jiǎn)介 178

1. 零基礎(chǔ)玩轉(zhuǎn)國(guó)產(chǎn)大模型DeepSeek [徐永冰 張帥 編著]
2. 網(wǎng)絡(luò)工程師5天修煉（適配第6版考綱） [主編　朱小平 施游]
3. 信息系統(tǒng)項(xiàng)目管理師考試32小時(shí)通關(guān)（適用第4版考綱） [薛大龍]
4. 信息系統(tǒng)管理工程師考試32小時(shí)通關(guān)（適配第2版考綱） [薛大龍　劉偉]
5. 土木工程材料檢測(cè)實(shí)訓(xùn) [洪曉江 達(dá)則曉麗 錢波]
6. 科技信息檢索與論文寫作實(shí)用教程 [李振華]
7. 傳統(tǒng)山水畫論解讀與實(shí)踐 [陳鈉 著]
8. Python數(shù)據(jù)庫(kù)編程 [主編 殷樹友 邢 翀]
9. 計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)實(shí)訓(xùn)指導(dǎo) [主編 袁春萍 朱妮]
10. 嵌入式人工智能技術(shù)應(yīng)用（數(shù)字教材） [主編 胡娜 楊國(guó)勇 晏廷榮]
11. Vienna整流器技術(shù) [桂存兵 著]
12. 變頻器與伺服應(yīng)用 [陳剛 葉云飛]
13. 物聯(lián)網(wǎng)工程設(shè)計(jì)與實(shí)踐 [湯琳 李敏]
14. 爐邊夜話——深入淺出話AI [汪建　著]
15. 電商運(yùn)營(yíng)與管理 [鐘肖英 陳瀟]
16. Java面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì) [主編 姜春磊 陳虹潔]
17. 信息技術(shù)基礎(chǔ)（Windows 10+WPS Office）（微課版） [主編　石利平　田輝平　謝盛嘉]
18. 人工智能應(yīng)用 [主編　陳　萍　劉培培　陳孟軍]
19. 大學(xué)生職業(yè)發(fā)展與就業(yè)指導(dǎo) [主編　劉志堅(jiān)]
20. 高級(jí)辦公應(yīng)用項(xiàng)目教程 [主編 屈晶 趙成麗]
21. 微信小程序開發(fā)項(xiàng)目實(shí)戰(zhàn)（微課版） [主編 黃龍泉 郭峰 朱倩]
22. 企業(yè)檔案工作實(shí)戰(zhàn)寶典百問百答 [華俊 盧秀英 邵甜甜 著]
23. 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)原理及應(yīng)用 [主編 唐繼勇 葉坤 孫夢(mèng)娜]
24. 大學(xué)生創(chuàng)業(yè)基礎(chǔ) [主編 王麗莉 王 楊]
25. 船舶輔機(jī) [主編 王連海 于洋 姜淑翠]
26. 大學(xué)生就業(yè)指導(dǎo) [主編 王麗莉 董宴廷]
27. 系統(tǒng)架構(gòu)設(shè)計(jì)師章節(jié)習(xí)題與考點(diǎn)特訓(xùn) [主編 薛大龍 鄒月平]
28. 高校學(xué)生工作探索與實(shí)踐 [郭亮 著]
29. 大學(xué)生情商管理 [方雄 著]
30. 2023年長(zhǎng)沙市會(huì)展業(yè)發(fā)展報(bào)告 [主編 周棟良]