微積分及其應(yīng)用

本書是基于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實踐的成果編著而成的，增加了數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的案例，減少了數(shù)學(xué)理論和推導(dǎo)內(nèi)容，加強直觀性教學(xué)和計算機應(yīng)用教學(xué)。

充分運用現(xiàn)代教育思想（形象思維、微元法思想、符號使用技巧等），重點突出知識的應(yīng)用，引入數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，為工程類與經(jīng)濟類的學(xué)生搭建了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的公共平臺，成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具、構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識體系的良師益友。

該書結(jié)合內(nèi)容的展示提供多角度觀察事物的方法，使讀者從不同方向、不同層面、不同角度認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，觀察事物，掌握數(shù)學(xué)原理、方法、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的例證（原型）。

本書是基于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實踐的成果編著而成的。2005～2008年，結(jié)合應(yīng)用型人才培養(yǎng)的需要，我們進(jìn)行了“以提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力為目標(biāo)”的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革。教學(xué)實踐中，一是增加了數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的案例，減少了數(shù)學(xué)理論和推導(dǎo)內(nèi)容；二是加強直觀性教學(xué)和計算機應(yīng)用教學(xué)。2007年主編了理工類和財經(jīng)類《高等數(shù)學(xué)》教材，主要特點：一是，以清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述抽象的數(shù)學(xué)概念，將基本理論的教學(xué)與應(yīng)用相結(jié)合；將抽象的數(shù)學(xué)概念與方法盡可能與專業(yè)相結(jié)合，理論聯(lián)系實際；將實際問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)理論來解釋，并用數(shù)學(xué)的方法來解決，為以后的數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；二是，突出專業(yè)特點，講清講透專業(yè)所需數(shù)學(xué)理論知識，貫穿數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù)的基本思想。

2009～2013年，根據(jù)應(yīng)用技術(shù)人才培養(yǎng)的需要進(jìn)行了“以構(gòu)建學(xué)生自己的數(shù)學(xué)知識體系為目標(biāo)”的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革。我們以現(xiàn)代教育技術(shù)為基礎(chǔ)，視數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)文化為一個教學(xué)整體，結(jié)合高等職業(yè)教育對象的特點設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系。在教學(xué)內(nèi)容設(shè)計上，力求使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)思想和文化、知道更多的數(shù)學(xué)方法、熟悉一些本專業(yè)的數(shù)學(xué)應(yīng)用；在數(shù)學(xué)教學(xué)過程設(shè)計上，以教師和學(xué)生學(xué)習(xí)成果相互轉(zhuǎn)化為主要教學(xué)形式，以構(gòu)建學(xué)生自己的數(shù)學(xué)知識體系為目的；在教學(xué)手段和教學(xué)方法設(shè)計上，注重學(xué)生的“自主性”和“實踐性”，營造自主、生動、合作、尊重的學(xué)習(xí)環(huán)境；在學(xué)生成績評定上，注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程考核和實踐性考核。我們將《高等數(shù)學(xué)》課程的內(nèi)容設(shè)計成一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、線性代數(shù)（矩陣及其運算、線性方程組）、概率統(tǒng)計（隨機事件及概率、隨機變量及數(shù)字特征、參數(shù)估計與假設(shè)檢驗）、數(shù)學(xué)實驗（軟件功能集成、軟件在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用）五大模塊，其中一元函數(shù)微積分是基礎(chǔ)模塊，土建類、制造類、電子信息類、財經(jīng)類各專業(yè)學(xué)生均要求學(xué)習(xí)，其余模塊根據(jù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的需要開設(shè)。在基礎(chǔ)模塊上，我們力求做到適應(yīng)多崗位、便于轉(zhuǎn)崗需要，在知識應(yīng)用方面盡可能使學(xué)生既懂工程應(yīng)用又懂經(jīng)濟應(yīng)用。第一次將數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容納入全校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容。課外組織學(xué)生參加“大學(xué)生數(shù)學(xué)建模”訓(xùn)練和競賽，達(dá)到數(shù)學(xué)建模教學(xué)目的。在教學(xué)實踐過程中，一是強化數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法教學(xué)，引進(jìn)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容，降低傳統(tǒng)計算方法教學(xué)內(nèi)容比重；二是強化專業(yè)數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)。

同期主編了理工類和財經(jīng)類同一平臺的《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教材，主要特點：一是充分運用現(xiàn)代教育思想（形象思維、微元法思想、符號使用技巧等），希望學(xué)生獲得極強的理性思維訓(xùn)練；二是重點突出知識的應(yīng)用，希望拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用空間；三是引入數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容，希望學(xué)生獲得數(shù)學(xué)美的熏陶；四是為工程類與經(jīng)濟類的學(xué)生搭建了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的公共平臺，希望成為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具、構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識體系的良師益友；五是結(jié)合內(nèi)容的展示提供多角度觀察事物的方法，使讀者從不同方向、不同層面、不同角度認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，觀察事物，掌握數(shù)學(xué)原理、方法、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的例證（原型）；六是提供了主要內(nèi)容的學(xué)習(xí)、講授方法，提供了處理抽象理論、常見問題分析和解決的方法，以及對抽象事物的認(rèn)識方法。

2014～2015年，我們在總結(jié)分析十年數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實踐經(jīng)驗教訓(xùn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了“高校轉(zhuǎn)型發(fā)展應(yīng)用技術(shù)人才培養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)教育整合研究”。研究表明：大學(xué)數(shù)學(xué)課程是應(yīng)用技術(shù)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，學(xué)習(xí)價值不僅體現(xiàn)在對專業(yè)理論學(xué)習(xí)的消化理解上，最終也體現(xiàn)在學(xué)生的專業(yè)實踐上，應(yīng)用技術(shù)專業(yè)的畢業(yè)生將來在從事技術(shù)生產(chǎn)的過程中離不開識別、分析、計算、模擬實驗、推斷和決策等基本能力，這些能力的形成在一定程度上依賴于數(shù)學(xué)。教學(xué)目的首先是培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素質(zhì)（了解數(shù)學(xué)文化，會用數(shù)學(xué)思想和方法解決實際問題，會用數(shù)學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)理論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)解決高新技術(shù)發(fā)展中的實際問題）和創(chuàng)造性（發(fā)現(xiàn)、發(fā)明），其次是為專業(yè)課的學(xué)習(xí)打下量化分析和理性思維的基礎(chǔ)。大學(xué)數(shù)學(xué)教育在高等職業(yè)教育中具有五大作用，即大學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程，是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要載體，是學(xué)生接受美感熏陶的一種途徑，是數(shù)學(xué)文化傳承的主要形式，是掌握高新技術(shù)的有效途徑。

因此，我們構(gòu)建了“基于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育、應(yīng)用數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)技術(shù)教育”的高等數(shù)學(xué)課程教育教學(xué)內(nèi)容體系，教學(xué)內(nèi)容包含于《數(shù)學(xué)文化概要》《微積分及其應(yīng)用》《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》《數(shù)學(xué)技術(shù)教育基礎(chǔ)》等教材之中。

該系列教材由重慶工商職業(yè)學(xué)院的李先明教授和劉彥輝副教授主持編寫，負(fù)責(zé)思想原則確立、內(nèi)容設(shè)計、統(tǒng)稿和定稿工作。參加本書主要編寫工作的有重慶工商職業(yè)學(xué)院的敖開云副教授、張靜講師、姚素芬講師、時耀敏講師。另外參加本書部分編寫工作的還有王正均（重慶電子工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授）、陳德林（重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授）、唐希平（重慶巴渝職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授）、劉光（重慶城市管理職業(yè)學(xué)院教授）、郭渝生（重慶青年職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授）、劉家英（重慶醫(yī)藥高等專科學(xué)校副教授）、許院年（重慶工商職業(yè)學(xué)院副教授）、楊俊（重慶航天職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授）。

本書共10章：向量空間及函數(shù)、函數(shù)的極限、函數(shù)的微分、函數(shù)的積分、常微分方程初步、無窮級數(shù)、三維空間幾何、多元函數(shù)的微分、多元函數(shù)的積分、數(shù)學(xué)實驗。每章后面配有基本練習(xí)題，要求讀者獨立完成，題目答案可通過簡單演算獲得，也可通過數(shù)學(xué)實驗的方法獲得。另外，難度較大的題目已放入數(shù)學(xué)實驗教學(xué)內(nèi)容之中。習(xí)題難度按大專以上水平設(shè)計。

我們認(rèn)為，高等職業(yè)教育已進(jìn)入內(nèi)涵建設(shè)階段，數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革任重道遠(yuǎn)，希望憑借此書吸引更多的同仁參與數(shù)學(xué)課程教育研究，推動我國高等職業(yè)教育更快地發(fā)展。

前言

第1章 向量空間及函數(shù) 1
1.1 向量空間 1
1.1.1 向量的概念 1
1.1.2 數(shù)軸與一維向量空間 1
1.1.3 平面直角坐標(biāo)系與二維向量空間 2
1.1.4 空間直角坐標(biāo)系與三維向量空間 4
1.1.5 n維空間 5
1.2 函數(shù)的概念 6
1.2.1 一元函數(shù)模型 6
1.2.2 多元函數(shù)模型 6
1.3 初等函數(shù) 7
1.3.1 基本初等函數(shù) 7
1.3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 10
1.4 建立函數(shù)模型 11
習(xí)題1 13
第2章 函數(shù)的極限 15
2.1 極限的幾何特征 15
2.2 極限的四則運算 18
2.2.1 四則運算 18
2.2.2 應(yīng)用舉例 19
2.3 極限數(shù)學(xué)計算方法 20
2.3.1 型未定式極限的計算 20
2.3.2 型未定式極限的計算 21
2.3.3 兩個重要極限 22
2.3.4 無窮大量與無窮小量 24
2.4 函數(shù)的連續(xù)性 26
2.5 極限的應(yīng)用 28
習(xí)題2 31
第3章 函數(shù)的微分 34
3.1 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念 34
3.1.1 曲線的切線 34
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 35
3.1.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式 36
3.2 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)計算方法 38
3.2.1 四則運算法則 38
3.2.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 39
3.2.3 隱函數(shù)求導(dǎo)法 40
3.2.4 函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 42
3.3 函數(shù)微分及計算方法 42
3.3.1 微分的概念 42
3.3.2 求函數(shù)的微分 43
3.4 函數(shù)微分的應(yīng)用 45
3.4.1 泰勒公式及近似計算 45
3.4.2 中值定理與洛必塔法則 47
3.4.3 初等函數(shù)形態(tài)研究 51
3.4.4 函數(shù)的最大（小）值 54
習(xí)題3 61
第4章 函數(shù)的積分 66
4.1 不定積分的概念 66
4.1.1 原函數(shù)與不定積分 66
4.1.2 基本積分公式 68
4.1.3 公式應(yīng)用舉例 69
4.2 不定積分的數(shù)學(xué)計算 70
4.2.1 換元積分法 71
4.2.2 分部積分法 76
4.2.3 綜合舉例 78
4.3 定積分的概念 80
4.3.1 曲邊梯形的面積與定積分 80
4.3.2 微積分基本定理 84
4.3.3 公式應(yīng)用舉例 86
4.4 定積分的數(shù)學(xué)計算 87
4.4.1 換元積分法 88
4.4.2 分部積分法 89
4.4.3 綜合舉例 91
4.5 廣義積分 92
4.5.1 無窮區(qū)間上的廣義積分 92
4.5.2 無界函數(shù)的廣義積分 94
4.6 定積分的應(yīng)用 95
4.6.1 幾何應(yīng)用 96
4.6.2 物理應(yīng)用 103
4.6.3 經(jīng)濟應(yīng)用 108
4.6.4 電學(xué)應(yīng)用 110
習(xí)題4 113
第5章 常微分方程初步 117
5.1 常微分方程的基本概念 117
5.2 可分離變量的微分方程 119
5.3 一階線性微分方程 120
5.4 二階常系數(shù)線性微分方程 122
5.5 常微分方程應(yīng)用 126
習(xí)題5 129
第6章 無窮級數(shù) 131
6.1 數(shù)項級數(shù) 131
6.1.1 數(shù)項級數(shù)的基本概念 131
6.1.2 求數(shù)項級數(shù)的和 131
6.1.3 數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 132
6.1.4 正項級數(shù)收斂判別法 133
6.1.5 任意項級數(shù) 135
6.2 函數(shù)項級數(shù) 136
6.2.1 基本概念 136
6.2.2 冪級數(shù) 136
6.2.3 泰勒級數(shù) 138
6.2.4 傅立葉級數(shù) 142
6.2.5 傅氏變換與拉氏變換 147
習(xí)題6 150
第7章 三維空間幾何 152
7.1 空間直角坐標(biāo)系 152
7.2 空間向量的概念 154
7.3 空間向量運算 154
7.3.1 向量的加減法 154
7.3.2 向量的數(shù)乘 154
7.3.3 向量的坐標(biāo) 155
7.3.4 向量的數(shù)量積（點乘） 155
7.3.5 向量的向量積（叉乘） 156
7.4 空間平面方程 157
7.4.1 決定平面的條件 157
7.4.2 平面的方程 158
7.4.3 平面與平面的位置關(guān)系 159
7.4.4 平面與平面的夾角 159
7.4.5 點到平面的距離 160
7.5 空間直線方程 160
7.5.1 決定直線的條件 160
7.5.2 直線的方程 160
7.5.3 直線與直線、直線與平面的
位置關(guān)系 161
7.6 空間曲線與曲面 162
7.6.1 空間曲線 162
7.6.2 空間曲面 162
習(xí)題7 166
第8章 多元函數(shù)的微分 169
8.1 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 169
8.1.1 二元函數(shù)基本概念 169
8.1.2 二元函數(shù)的極限與連續(xù) 170
8.1.3 偏導(dǎo)數(shù) 170
8.1.4 求導(dǎo)法則 172
8.1.5 高階偏導(dǎo)數(shù) 172
8.2 多元函數(shù)的全微分 173
8.3 多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 174
8.4 多元函數(shù)的極值 175
習(xí)題8 177
第9章 多元函數(shù)的積分 180
9.1 曲頂柱體體積與二重積分 180
9.1.1 二重積分的概念 180
9.1.2 二重積分的性質(zhì) 181
9.2 二重積分的數(shù)學(xué)計算方法 181
9.2.1 在直角坐標(biāo)系下計算二重積分 181
9.2.2 在極坐標(biāo)系下計算二重積分 185
9.3 二重積分的應(yīng)用 187
9.3.1 曲面面積 187
9.3.2 空間體積 188
9.3.3 其他應(yīng)用 189
9.4 空間物體質(zhì)量與三重積分 190
9.5 三重積分的數(shù)學(xué)計算方法 192
9.6 物質(zhì)曲線的質(zhì)量與第一類曲線積分 196
9.7 變力作功與第二類曲線積分 198
9.8 物質(zhì)曲面質(zhì)量與第一類曲面積分 203
9.9 均勻穩(wěn)定的流體流量與第二類
曲面積分 205
9.9.1 曲面的側(cè) 205
9.9.2 流體的流量與第二類曲面積分 205
習(xí)題9 207
第10章 數(shù)學(xué)實驗 212
10.1 初識MATLAB 212
10.2 MATLAB集成環(huán)境 217
10.2.1 集成環(huán)境 217
10.2.2 主窗口 218
10.2.3 工作空間窗口 219
10.2.4 MATLAB幫助系統(tǒng) 220
10.3 MATLAB基本知識 221
10.3.1 基本運算符及表達(dá)式 221
10.3.2 MATLAB變量命名規(guī)則 221
10.3.3 數(shù)值計算結(jié)果的顯示格式 221
10.3.4 MATLAB指令行中的標(biāo)點符號 222
10.3.5 MATLAB指令窗的常用
控制指令 223
10.3.6 數(shù)學(xué)函數(shù) 223
10.4 MATLAB在微積分中的應(yīng)用 223
10.4.1 計算函數(shù)的極限 223
10.4.2 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 227
10.4.3 計算函數(shù)的積分 233
10.4.4 繪制平面區(qū)域圖形 235
10.4.5 解常微分方程 237
10.4.6 積分變換與級數(shù) 237

1. 微積分（經(jīng)管類）導(dǎo)學(xué)篇（下冊） [王海棠 曹海軍 周玲麗]
2. 微積分（經(jīng)管類）教程篇（下冊） [曹海軍 王海棠 周玲麗]
3. 微積分（經(jīng)管類）教程篇（上冊） [曹海軍 王海棠 周玲麗]
4. 微積分（經(jīng)管類）導(dǎo)學(xué)篇（上冊） [王海棠 曹海軍 周玲麗]
5. 微積分探究性學(xué)習(xí)的理論與實踐研究 [徐永琳 田巧玉 文艷艷]
6. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分 [主 編 黃玉娟]
7. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分（第二版）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解` [郝國亮]
8. 經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）微積分（第三版）全程輔導(dǎo)及習(xí)題精解 [馮君淑]
9. 微積分（第三版•下冊）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 [黃淑森 蘇志平]
10. 微積分（第三版）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 [主編 黃淑森 焦艷芳]
11. 微積分（第二版•上冊）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 [主編 邊文思 黃淑森]
12. 微積分（第三版•上冊）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 [主編 邊文思 黃淑森]
13. 微積分（第二版·下冊）同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 [邊文思 黃淑森]